Co mogą CDF-y?

  CDF-y Wolframa są już od trzech miesięcy w "chmurce" internetowej. Jaki skok jest możliwy z ich wsparciem? Spróbuję to wytłumaczyć na przykładzie mojego tekstu sprzed pięciu lat znajdującego się na 38 stronie Programu Integracyjnego:

2. Poczatki Polskiej Szkoły Matematycznej.
W obliczu wojennego zagrożenia polscy profesorowie zgłosili swoje osoby do dyspozycji Dowództwa Armii Polskiej. Profesor Sierpinski i profesor Mazurkiewicz zostali zaangażowani do pomocy w łamaniu szyfrów rosyjskich. Jednocześnie poczynając od 1920 roku stali się oni naukowymi kierownikami znanego na całym świecie czasopisma Fundamenta Mathematicae i byli nimi przez cały okres międzywojenny.
a) W pierwszym tomie Fundamenta Mathematicae, który ukazał się w pierwszej połowie 1920 roku znajduje się zamieszczane we wszystkich podręcznikach topologii twierdzenie Sierpińskiego ujmujące istotę lokalnej spójności. Niezwykle ciekawym zbiorem posiadającym własność lokalnej spójności jest opisany w roku 1916 zbiór znany jako „dywan Sierpińskiego”. Zbiory tego typu, szczególnie ten powstający z trójkąta, rozpatrywane sa również w teorii fraktali, a ostatnio w teorii automatów komórkowych. Prezentacja komputerowa tych zbiorów jest niezwykle interesująca i zrozumiała już dla dzieci. Zainteresowanym osobom można przedstawić wspomniane twierdzenie i szkicowy (wręcz rysunkowy) dowód.
b) W czerwcu 1920 roku, zanim rozpoczęło się oblężenie Lwowa, na lwowskim Uniwersytecie im. Jana Kazimierza odbyła się publiczna obrona pracy doktorskiej Stefana Banacha. Banach zaprezentował w niej twierdzenie (nazywane odtąd twierdzeniem Banacha), którego poglądowy dowód może zrozumieć każdy uczeń liceum. Pewne zastosowania tego twierdzenia można przedstawić w sposób zupełnie elementarny – np.: „jeżeli rozłożymy mapę naszej okolicy, to istnieje na tej mapie punkt, który nakłada się na swój rzeczywisty pierwowzór”. Dla zainteresowanych (np. studentów wielu typów uczelni) można podać bazujący na nim dowód istnienia rozwiązania równania różniczkowego (twierdzenie Banacha i to właśnie jego zastosowanie stanowią treść zadania 20 i 21 zamieszczonych na końcu rozdziału „Przestrzenie zwarte” w podręczniku Kazimierza Kuratowskiego „Wstęp do teorii mnogości i topologii” przerabianym do niedawna na drugim roku matematyki, a obecnie podobną tematykę przerabia się na roku pierwszym, gdyż  matura jest o jeden rok później). Praca doktorska Banacha zawierała, jako danie główne, definicję wprowadzającą pojęcie pewnej przestrzeni (nazywanej od lat trzydziestych przestrzenią Banacha) i dowody (niektóre bardzo trudne), że wiele znanych obiektów matematycznych jest takimi przestrzeniami, co umożliwia łatwe (po wprowadzeniu tych zaawansowanych i abstrakcyjnych pojęć) znajdowanie rozwiązań trudnych równań całkowych. Praca Banacha jest przykładem tego, co daje „wysoka abstrakcja” i trudno znaleźć lepszą ilustrację tej idei w matematyce i poza nią.

  Czytająca ten tekst osoba, nawet z wyższym wykształceniem politechnicznym, będzie wiedziała, że "gdzieś dzwonią", ale nie spodziewam się, że poświęci parę godzin na szukanie w literaturze odpowiedzi, gdzie dzwonią. Przedstawienie tych dwóch najprostszych "twierdzeń z nazwiskami" dwóch najważniejszych twórców warszawsko-lwowskiej Szkoły Matematycznej przy pomocy CDF-ów da pojęcie o ich treści każdemu maturzyście bez szukania książek - po prostu "online". Co więcej jest nadzieja, że za kilka latach trafi "pod strzechy" ludzi ze ścisłym wykształceniem - objaśniona CDF-ami - najważniejsza polska książka naukowa od czasów Kopernika, taka która w każdym, nawet najbardziej rozwiniętym kraju pojawia się nie częściej niż raz na sto lat: "Teoria operacji liniowych" Stefana Banacha. Ukazała się ona w roku 1931 (wydanie polskie) - jej wydanie francuskie stało się pierwszą pozycją słynnej serii Monografii Matematycznych - i do tej pory jest dostępna pojęciowo dopiero na wyższych latach studiów matematycznych. Wybitny psycholog osobowości, Józef Kozielecki w książce Stefan Banach - geniusz ze Lwowa tak o niej pisze: "Prawdziwą rewelacją na skalę światową było ukazanie się w roku 1932 jego epokowego dzieła Theorie des operations linearies, poświęconego teorii operacji liniowych . Chociaż wiem jak trudno jest oceniać prace z różnych dziedzin kultury nie waham się postawić "Banacha" na półkę obok Wstępu do psychoanalizy Z. Freuda, Wykładów o czynności mózgu I. Pawłowa, Historii budowy atomu wodoru N. Bohra. Garding nazwał ją - bez przesady - Biblią analizy funkcjonalnej."

CDF - evolution meets revolution

CDF to skrót od Computable Document Format, którego wykreowanie, w sierpniu tego roku, zespół pracujący pod kierunkiem Stephana Wolframa uważa za zwieńczenie ćwierćwiecza istnienia programu i firmy Mathematica. Minione dwudziestopięciolecie to był czas ewolucji, a teraz nadszedł czas rewolucji (evolution meets revolution - to hasło na stronie wolfram.com, a można tam obejrzeć również odpowiedni dwuminutowy filmik oraz dwudziestominutową filmową prezentację). Rzeczywiście, jest to kolejny krok ludzkości, definitywnie kończący erę Gutenberga. Gdy ruszy szerokim frontem publikowanie w Internecie e-podręczników i e-książek naukowych w formacie CDF, nie będziemy chcieli czytać ich wersji papierowych, bo komu opis Portugalii jest w stanie zastąpić odwiedzenie tego kraju? Podaję ścieżkę dojścia do tej nieznanej krainy CDF-ów (plików w nowym formacie Computable Document Format):
1) wpisać w Google wolfram.com , otworzyć stronę;
2) kliknąć na górnej poziomej liście PRODUCTS;
3) z wyświetlonej rozwiniętej pionowej listy wybrać zakładkę: Computable Document Format (CDF).
4) Po prawej stronie ekranu (w opcji Overview) znajduje się zaznaczony na czerwono szyldzik: Get the free Wolfram CDF Player - po kliknięciu można załadować niezbędny program (uwaga: potrzebnych jest 100 MB wolnego miejsca, a czas wgrywania kilka - przy wolniejszym Internecie kilkanaście - minut).
5) Po uruchomieniu programu Wolfram CDF Player 8 znajdziemy się na stronie Welcome to CDF Player. Z trzech opcji u dołu strony wystarczy wybrać pierwszą od lewej: The Computable Document Format i można obejrzeć zamieszczony wśród kilku przykładowych CDF-ów, fragment nagrodzonego e-podręcznika rachunku różniczkowego (po kliknięciu na obrazek nazwany Textbooks).
6) Na stronie 2/2 znajduje się zaznaczone czerwonymi literami Get Started, po którego kliknięciu dochodzimy do gromadzonych przez wiele lat zasobów interaktywnych programów tworzących łącznie Wolfram Demonstrations Project. Jest ich ponad 1000, pogrupowanych w różnych dziedzinach wiedzy, edukacji (poczynając od przedszkolnej), a nawet rozrywki.  

Na dzień dzisiejszy do czytania CDF-ów niezbędny jest Wolfram CDF Player (program darmowy, ale dość duży). Do ich pisania konieczna jest Mathematica. Programiści Wolframa obiecują, że CDF-y będzie można czytać online. Mathematica zawiera wiele gotowych cegiełek do tworzenia CDF-ów, więc trudno sobie na razie wyobrazić inny program już dostosowany do ich pisania.
W dwóch poprzednich postach przedstawiłem dwa “kawałki” matematyczne z wykorzystaniem wyszukiwarki WolframAlpha, które napisałem już rok temu dla swoich studentów. W zmienionej trochę postaci przedstawię je zapewne kiedyś w formacie CDF, ale dopiero gdy będzie można CDF-y czytać online. Póki co pozostanę przy wyszukiwarce, a jedynie będę zbierał modeliki do CDF-ów w interesujących mnie dziedzinach kryptologii i ekonomii matematycznej.


Chwila przełomu jest dobrym momentem na wspomnienia i refleksje dotyczące społecznego funkcjonowania wiedzy naukowej i technicznej, czyli, jak się szumnie mówi - postępów cywilizacji. W latach 1972-1974 działalność naukowa profesora Jerzego Łosia i zainicjowanie przez niego międzynarodowych sympozjów i konferencji sprawiły, że w ekonomii matematycznej zaczęto pokładać nadzieję na usprawnienienie gospodarki socjalistycznej w duchu teorii konwergencji (zbliżenia do siebie obu systemów). Wśród osób biorących udział w tym "konwergencyjnym" przedsięwzięciu profesora Łosia byli wybitni naukowcy: Martin Beckmann, Evgenij Dynkin,Tjalling Koopmans, Terje Hansen, Hoŕng Tuy, Victor Klee, Lionel MacKenzie, Milan Mareš, Otto

Moeschlin, Oskar Morgenstern, Steve Robinson, Tyrell Rockafellar i Gerald Thompson (Koopmans to późniejszy laureat Nobla). Oczekiwania były ogromne, nie brakowało też narzędzi matematycznych - w roku 1975 nagrodę Nobla z ekonomii otrzymał wybitny matematyk, Leonid Kantorowicz, który już w 1938 roku przedstawił przełomową pracę o optymalizacji niektórych działalności w ZSRR (jego “tieniewyje ocenki”, to późniejsze “shadow prices” - optymalizacja sprawdza się w każdym systemie gospodarczym). Czego zabrakło? Przełożenia na praktykę, przełożenia niemożliwego bez powszechnego zrozumienia, że optymalizacja planów gospodarczych może konkurować z mechanizmami rynkowymi. O istocie mechanizmów rynkowych dyskutowali wtedy ekonomiści zachodni tworząc Teorię Równowagi Ogólnej (General Equilibrium Theory). Dziś wiemy, mądrzy po kryzysowej szkodzie, że do takiej teorii wciąż jest bardzo daleko. Jako nowicjusz, od dwóch lat poznający metody matematyczno-ekonomiczne, w pierwszym roku po studiach brałem udział w konferencji Computing equilibria - How and Why? (nie było polskiej wersji tytułu), zorganizowanej przez zespół profesora Łosia z Centrum Obliczeniowego PAN w lipcu 1974 roku w Toruniu. Myślę teraz, że te same, omawiane wówczas modele, ale przedstawione w formacie CDF, nie tylko byłyby “strawniejsze” w czytaniu, ale przede wszystkim mogłyby być upowszechnione w stopniu wystarczającym do spełnienia ich funkcji społecznych.

Producent

Uwaga: z programu  WolframAlpha  korzystamy w ten sposób, że zawsze najpierw kopiujemy formułę matematyczną występującą zaraz po kolorowym linku wolfram, potem klikamy na link otwierając program i wstawiamy skopiowaną formułę do okienka programu WolframAlpha.

  Producent zatrudnia siłę roboczą, aby wytworzyć produkt przy użyciu dostępnego mu kapitału (np. ziemi). Funkcja produkcji jest więc funkcją dwóch zmiennych - kapitału i pracy (np. z=x^(0.6)*y^(0.4), gdzie z-produkt, x-praca, y-kapitał). Jako funkcja dwóch zmiennych ma swój “prawdziwy” wykres w przestrzeni trójwymiarowej, a na płaszczyźnie przedstawiana jest poprzez warstwice: wolfram ContourPlot[{z=x^(0.6)*y^(0.4)}, {x, 0, 1000}, {y, 0, 1000}]. Prostym sposobem ustalenia wartości warstwicy dla funkcji Cobba-Douglasa jest poprowadzenie prostej y=x i odczytanie współrzędnej punktu przecięcia, bo na prostej x=y wartości funkcji wylicza się łatwo: z=x^0.6*x^0.4=x^1 (po dodaniu wykładników), czyli z=x, wolfram ContourPlot[{x^(0.6)*y^(0.4)=346, x=y},{x, 0, 1000}, {y, 0, 1000}] . Przyjmijmy, że ustalone jest zapotrzebowanie na wielkość produkcji (wynosi ona 346 jednostek “czegoś tam“). Wówczas, przy danych cenach pracy (2$) i kapitału (3$) producent powinien minimalizować swoje nakłady na wytworzenie tej wielkości produkcji. Poziom nakładów przedstawiają kolejne proste (reprezentujące cały pęk prostych równoległych zadany równaniem 2x+3y=k) wolfram ContourPlot[{ 2x+3y=1500, 2x+3y=1700, 2x+3y=1900},{x, 0, 1000}, {y, 0, 1000}] . Zestawienie ich z warstwicą z=346 funkcji produkcji okazuje, że ta sama produkcja może być osiągnięta przy większym lub mniejszym nakładzie wolfram ContourPlot[{x^(0.6)*y^(0.4)=346, 2x+3y=1700, 2x+3y=1900},{x, 0, 1000}, {y, 0, 1000}] . Łatwo widać, że nakład minimalny będzie osiągany, gdy krzywa i poszukiwana prosta będą styczne, podobnie jak w przypadku zagadnienia optymalnego wyboru konsumenta . Zagadnienie styczności w tym przypadku jest jednak trudniejsze, gdyż funkcja produkcji nie jest funkcją kwadratową, lecz potęgową o ułamkowych wykładnikach. Nie mniej obliczenie jej pochodnej umożliwi nam rozwiązanie problemu styczności:
1.Wyznaczamy kierunek pęku prostych 2x+3y=k, zapisując to równanie w postaci funkcji jednej zmiennej y=-(2/3)*x+k/3. Z postaci funkcji widzimy, że współczynnik kierunkowy równa się -(2/3) (zauważmy jeszcze, że jest to zarazem wartość pochodnej każdej funkcji z tego pęku prostych).
2. Równanie x^(0.6)*y^(0.4)=346 podnosimy stronami do potęgi 2.5 (to sposób na wyliczenie y, bo 2.5*0.4=1, więc po wykonaniu podnoszenia do potęgi będziemy mieli y^1=y) i zapisujemy w postaci funkcji jednej zmiennej y=(346^2.5)*(x^-1.5).
3. Różniczkujemy otrzymaną funkcję (x^-1.5) bez współczynnika (346^2.5), bo on nie ulegnie zmianie wolfram derivative (x^-1.5) .
4. Aby prosta była styczna, jej współczynnik kierunkowy musi być równy wartości pochodnej w punkcie styczności. Musimy więc rozwiązać równanie wolfram solve (-1.5)*(346^2.5)*(x^-2.5)=-2/3 .
5. Otrzymaną wartość x (przybliżoną) wstawiamy do równania funkcji z p. 2, aby obliczyć wartość y wolfram (346^2.5)*(478.6^-1.5) .
6. Do równania 2x+3y=k wstawiamy przybliżone wartość x i y, aby wyliczyć k - poszukiwaną wartość minimalnych nakładów niezbędnych do wytworzenia 346 jednostek produktu wolfram 2*478.6+3*212.7 .
7. Teraz, przyjmując dla k przybliżenie k=1595, możemy przedstawić rozwiązanie na wykresie wolfram ContourPlot[{x^(0.6)*y^(0.4)=346, 2x+3y=1595},{x, 0, 1000}, {y, 0, 1000}] .

Po zapoznaniu się z powyższymi wykresami, warto zajrzeć do Appendix 7 w Economics Samuelsona.

Postać funkcji produkcji (czyli wartość liczbowa wykładników) jest dla danej branży ustalana metodami statystycznymi. Poza funkcją Cobba-Douglasa rozpatrywane są również inne funkcje dwóch zmiennych.

Preferencje konsumenta

Uwaga: z programu WolframAlpha korzystamy w ten sposób, że zawsze najpierw kopiujemy formułę matematyczną występującą zaraz po kolorowym linku wolfram, potem klikamy na link otwierając program i wstawiamy skopiowaną formułę do okienka programu WolframAlpha.

Przyjmijmy, że konsument ma preferencje wyrażone przez krzywe obojętności xy=2, xy=4, xy=6, wolfram ContourPlot[{x*y==2, x*y==4, x*y==6}, {x, 0, 9}, {y, 0, 9}] . Ogólne równanie krzywej obojętności: xy=k. Rosnące zadowolenie, to przesuwanie się w prawo i w górę, do coraz wyższych wartości funkcji użyteczności. Ma też niestety ograniczenia budżetowe - wyrażone jedną linią prostą. Powinien znaleźć krzywą o takiej wartości k, żeby prosta była do niej styczna. Przyjmijmy, że ograniczenia budżetowe to x + y <= 4, prosta ograniczająca ma więc równanie x + y = 4. Napiszmy układ równań: [x + y = 4, xy = k]. Wyznaczamy y z pierwszego równania: y = 4 - x, wstawiamy go do drugiego i mamy: x(4-x) = k, a po wymnożeniu i przeniesieniu na jedną stronę: -x^2 + 4x - k = 0. Aby równanie kwadratowe miało tylko jedno rozwiązanie spełniony musi być warunek: wyróżnik równania równa się zero. Wyróżnik wyraża się wzorem: b^2 - 4ac, więc 4^2-4(-1)(-k) = 0, skąd 4k = 16, czyli k = 4. I to jest odpowiedź na nasz problem - jesteśmy w stanie osiągnąć satysfakcję na poziomie 4, wolfram ContourPlot[{x+y=4, x*y=4}, {x, 0, 9}, {y, 0, 9}] . Dla jakiego to będzie koszyka dóbr? Musimy rozwiązać układ, już bez parametru (k=4): [x + y =4, xy=4]. Rozwiązując jak poprzednio otrzymamy: -x^2 + 4x - 4 = 0, x=-b/2a, czyli x = -4/(-2)=2, wyliczamy y = 4 - x = 4-2 =2, wolfram solve[x+y=4, x*y=4] . Zmiany cen - znaczne, bo 3-krotne podniesienie ceny żywności, przy dwukrotnym obniżeniu ceny ubrania spowoduje takie przesunięcie ograniczenia budżetowego: 3x + (1/2)y = 4, że nie będziemy w stanie osiągnąć satysfakcji nawet na poziomie xy=3, wolfram ContourPlot[{x*y==3, x*y==4, 3x+(1/2)*y==4}, {x, 0, 9}, {y, 0, 9}] . Ale na przykład przy dwukrotnym wzroście cen ubrania, rekompensowanym dwukrotnym obniżeniem cen żywności, ograniczenie budżetowe: (1/2)x + 2y = 4 pozwoli nam się utrzymać na poprzedniej krzywej: xy=4, wolfram ContourPlot [{(1/2)*x+2*y==4, x+y=4, x*y=4}, {x, 0, 9}, {y, 0, 9}] .


Po zapoznaniu się z powyższymi przykładami, warto samodzielnie przeanalizować wykresy z Appendix 5 w Economics Samuelsona.

Każdemu narzuci się pytanie: jak można ustalić postać krzywych obojętności, czyli prawdziwe preferencje konsumenta? Oczywiście konsumenta reprezentatywnego dla dużej populacji, bo pojedynczy konsument nie jest obiektem badań ekonomii, a raczej psychologii. Preferencje stałe dla pewnego przedziału zmienności cen można badać metodami statystycznymi. Najbardziej znana i wykorzystywana jest metoda reprezentacyjna, która nakazuje wyszukiwać konsumentów do badań w sposób całkowicie losowy (podobnie jak to się robi z wyborcami w dzień wyborów).